Question

橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是

3

，則這個橢圓方程為

x2

12

+

y2

9

=1或

y2

12

+

x2

9

=1

．

Answer 1

分析：當焦點在x軸時，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意得到a=2c，進而根據(jù)焦點到橢圓上的點的最短距離是

3

求得a和b，進而得到橢圓的方程；當焦點在y軸時，同理可得橢圓方程的方程．

解答：解：當焦點在x軸時，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由題意知a=2c，a-c=

3

，
解得a=2

3

，c=

3

，
所以b²=9，所求的橢圓方程為

x2

12

+

y2

9

=1．
同理，當焦點在y軸時，所求的橢圓方程為

x2

9

+

y2

12

=1．
故答案為：

x2

12

+

y2

9

=1或

y2

12

+

x2

9

=1．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質．要特別注意橢圓的焦點在x軸還是在y軸．