Question

已知（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展開式中第3項與第2項系數的比是4，
（1）求n的值；
（2）展開式里所有x的有理項．

Answer 1

分析：（1）利用二項式系數的性質可得

C

2 n

=4

C

1 n

，從而可求得n的值；
（2）利用二項展開式的通項公式T_r+1=

C

r 9

x

27-5r

6

（r=0，1，2，…，9），由x的冪指數

27-5r

6

∈Z即可求得r的值，從而可求得展開式里所有x的有理項．

解答：解：（1）由題設，得

C

2 n

=4

C

1 n

，…（3分）
即

n(n-1)

2

=4n，解得n=9，n=0（舍去）．…（4分）
（2）通項T_r+1=

C

r 9

(

x

)9-r(

1

3 x

)r=

C

r 9

x

27-5r

6

（r=0，1，2，…，9），
根據題意：

27-5r

6

∈Z，解得r=3或9         …（8分）
∴展開式里所有x的有理項為T₄=84x²，T₁₀=

1

x3

     …（10分）

點評：本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，考查分析與運算能力，屬于中檔題．