Question

（2013•嘉興一模）已知函數f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x）））=0}，若A∩B≠∅且存在x₀∈B，x₀∉A則實數b的取值范圍是（　　）

A．b≠0

B．b＜0或b≥4

C．0≤b＜4

D．b≤4或b≥4

Answer 1

分析：由f（f（x）））=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0，由此求得A={0，-b}．方程f（f（x）））=0即（x²+bx）（x²+bx+b）=0，解得x=0，或x=-b，或 x=

-b± b2-4b

2

．由于存在x₀∈B，x₀∉A，故b²-4b≥0，從而求得實數b的取值范圍．

解答：解：由題意可得，A是函數f（x）的零點構成的集合．
由f（f（x）））=0，可得 （x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0．
故函數f（x）=x²+bx，故由f（x）=0可得 x=0，或x=-b，故A={0，-b}．
方程f（f（x）））=0，即 （x²+bx）²+b（x²+bx）=0，即 （x²+bx）（x²+bx+b）=0，
解得x=0，或x=-b，或 x=

-b± b2-4b

2

．
由于存在x₀∈B，x₀∉A，故b²-4b≥0，解得b≤0，或b≥4．
由于當b=0時，不滿足集合中元素的互異性，故舍去，即實數b的取值范圍為{b|b＜0或b≥4 }，
故選B．

點評：本題主要考查二次函數的性質，集合建的包含關系，注意檢驗集合中元素的互異性，屬于基礎題．