Question

在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且

m

=（sinA+sinB+sinC，sinC），

n

=（sinB，sinB+sinC-sinA），若

m

∥

n

（1）求A的大��；
（2）設a=

3

，S為△ABC的面積，求S+

3

cosBcosC的最大值及此時B的值．

Answer 1

分析：（1）共線向量的坐標運算可得（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC，再利用正弦定理將角的正弦轉化為所對邊的邊長，再利用余弦定理即可求得A的大��；
（2）依題意，利用正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

=2，可求得S=

1

2

bcsinA=

3

sinBsinC，逆用兩角差的余弦即可求得S+

3

cosBcosC取最大值及此時B的值．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

，
∴（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC
根據正弦定理得（a+b+c）（c+b-a）=bc，
即a²=b²+c²+bc，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得cosA=-

1

2

，又A∈（0，π），
∴A=

2π

3

；
（2）∵a=

3

，A=

2π

3

，
∴由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2sinB×2sinC×

3

2

=

3

sinBsinC，
∴S+

3

cosBcosC=

3

sinBsinC+

3

cosBcosC=

3

cos（B-C），
∴當B=C時，
即B=C=

π

6

時，S+

3

cosBcosC取最大值

3

．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應用，考查平面共線向量的坐標運算及兩角差的余弦，考查轉化思想與綜合運算能力，屬于中檔題．