Question

已知點M與兩個定點E（8，0），F（5，0）的距離之比等于2，設點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx與曲線C相交于不同的兩點A、B．
（1）求k的取值范圍；
（2）分別取k=0及k=

1

2

，在弦AB上，確定點Q的坐標，使

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

（|OA|＜|OB|）成立．由此猜想出一般結論，并給出證明．

Answer 1

分析：（I）設出動點M的坐標，然后根據點M與兩個定點E（8，0），F（5，0）的距離之比等于2，利用兩點之間的距離公式，整理后，即可得到曲線C的方程；
（II）（1）結合（I）的結論，直線l：y=kx與曲線C相交于不同的兩點A、B，則直線與圓相交，則圓心到直線的距離小于半徑，由此構造關于k的方程，即可得到答案．
（2）將k=0及k=

1

2

代入，求出滿足條件的Q的坐標，分析后可猜想Q在直線x=3上．則我們可以聯立方程，求出滿足條件的直線方程，驗證是否為直線x=3；

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），依題意有：

|ME|

|MF|

=2，
∴

(x-8)2+y2

(x-5)2+y2

=2，（2分）
整理得曲線C的方程為（x-4）²+y²=4．（4分）
解：（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，要使線l：y=kx與曲線C相交于不同的兩點，只需曲線C的圓心（4，0）到直線l的距離小于圓的半徑2．
∴

|4k|

k2+1

＜2，
解得，-

3

3

＜k＜

3

3

．（7分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則有0＜x₁＜x₀＜x₂．
當k=0時，A（2，0），B（6，0），
由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-2

6-x0

=

2

6

，
∴x₀=3，即點Q的坐標為（3，0）．（8分）
當k=

1

2

時，由

y= 1 2 x (x-4)2+y2=4

得方程5x²-32x+48=0，∴x1+x2=

32

5

，x1x2=

48

5

由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-x1

x2-x0

=

x1

x2

，
整理得x0=

2x1x2

x1+x2

=3，∴y0=

3

2

∴即點Q的坐標為（3，

3

2

）．（10分）
猜想，點Q在直線x=3上．（11分）
證明如下：
方法1，由

y=kx (x-4)2+y2=4

得（1+k²）x²-8x+12=0，（12分）
∴x1+x2=

8

1+k2

①，x1x2=

12

1+k2

②
由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-x1

x2-x0

=

x1

x2

，
整理得x0=

2x1x2

x1+x2

=3
即點Q在定直線上，這條直線的方程是x=3．（15分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，其中利用坐標法求了滿足條件的動點M的軌跡C是解答本題的關鍵．