Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為， 為橢圓的上頂點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線：（）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，如圖所示.

（ⅰ）證明：;

（ⅱ）求四邊形的面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

      因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601190890214827/SYS201205260120364334851992_DA.files/image003.png">，，

所以.

所以 .                   ………………………………………2分

所以 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.     ………………………………………3分

（Ⅱ）設(shè)，，，.

（ⅰ）證明：由消去得：.

則，

                     ………………………………………5分

所以

       

       

        .

 

同理 .   ………………………………………7分

因?yàn)?,

所以 .

因?yàn)?，

所以 .                       ………………………………………9分

（ⅱ）解：由題意得四邊形是平行四邊形，設(shè)兩平行線間的距離為,則 .

因?yàn)?，

所以 .                     ………………………………………10分

所以

.

（或）

所以 當(dāng)時(shí)， 四邊形的面積取得最大值為.

                                     ………………………………………13分

【解析】略