Question

已知函數f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若sinα+cosα=

1

2

，求f(α+

5π

12

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用和差角公式及倍角公式對f（x）進行化簡，根據周期公式可求得最小正周期；
（2）對sinα+cosα=

1

2

兩邊平方可求得sin2α，代入f(α+

5π

12

)的表達式即可求得結果；

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinx•cosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（2）∵sinα+cosα=

1

2

，
∴sin2α=

1

4

-1=-

3

4

，
∴f(α+

5π

12

)=2sin(2α+π)=-2sin2α=

3

2

；

點評：本題考查三角函數中的恒等變換、三角函數的周期及其求法，考查學生的運算求解能力．