Question

在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若

tanA

tanB

=

2c-b

b

，求A的值．

Answer 1

分析：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，可得sin（A+B）=2sinCcosA，再由sin（A+B）=sinC為正數(shù)，將等式兩邊約分可得cosA=

1

2

，從而算出A=60°．

解答：解：∵

tanA

tanB

=

2c-b

b

，化簡(jiǎn)得

sinAcosB

sinBcosA

=

2c-b

b

∴根據(jù)正弦定理，得

sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC-sinB

sinB

---------------（3分）
去分母，得sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA
移項(xiàng)，得sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA------------（8分）
∵sin（A+B）=sin（π-C）=sinC＞0----------------------（10分）
∴等式兩邊約分，可得2cosA=1，得cosA=

1

2

結(jié)合A為三角形的內(nèi)角，可得A=60°---------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊角關(guān)系，求角的大小．著重考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．