Question

如圖,正三角形ABC的邊長為3,過其中心G作BC邊的平行線,分別交AB、AC于B₁、C₁.將△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置,使點A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是線段BC的中點M.求:

(1)二面角A₁B₁C₁M的大小;

(2)異面直線A₁B₁與CC₁所成角的大小(用反三角函數(shù)表示).

Answer 1

解析:(1)連結(jié)AM、A₁G.

∵G是正三角形ABC的中心,且M為BC的中點,

∴A、G、M三點共線,AM⊥BC.

∵B₁C₁∥BC,∴B₁C₁⊥AM于G,

即GM⊥B₁C₁,GA₁⊥B₁C₁.

∴∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角.

∵點A₁在平面BB₁C₁C上的射影為M,

∴A₁M⊥MG,即∠A₁MG=90°.

在Rt△A₁GM中,由A₁G=AG=2GM得∠A₁GM=60°,

即二面角A₁B₁C₁M的大小是60°.

(2)過B₁作C₁C的平行線交BC于P,則∠A₁B₁P等于異面直線A₁B₁與CC₁所成的角.

由PB₁C₁C是平行四邊形得

B₁P=C₁C=1=BP,

PM=BM-BP=,A₁B₁=AB₁=2.

∵A₁M⊥面BB₁C₁C于M,

∴A₁M⊥BC,∠A₁MP=90°.

在Rt△A₁GM中,A₁M=A₁Gsin60°=.

在Rt△A₁MP中,A₁P²=A₁M²+PM²=.

在△A₁B₁P中,由余弦定理得cos∠A₁B₁P=,

∴異面直線A₁B₁與CC₁所成角的大小為arccos.

小結(jié)：求二面角、異面直線所成的角一般是先作出二面角的平面角、異面直線所成的角(平面角),然后通過解三角形可得要求的角.