Question

（本小題滿分14分）已知橢圓：的離心率是，其左、右頂點分別為，，為短軸的端點，△的面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）為橢圓的右焦點，若點是橢圓上異于，的任意一點，直線，與直線分別交于，兩點，證明：以為直徑的圓與直線相切于點．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）證明：見解析。

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用，
（1）運用橢圓的性質得到橢圓的參數a,b,c的關系式，從而得到橢圓的方程。
（2）設出直線方程與橢圓的方程聯立方程組，然后結合韋達定理和向量的數量積公式得到結論。
（Ⅰ）解：由已知        解得，．   …4分
故所求橢圓方程為．             …………5分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，．設，則． 于是直線方程為 ，令，得；所以，同理．  所以，.所以
   ．
所以 ，點在以為直徑的圓上．      …………10分
設的中點為，則．         …………11分
又，
所以
．
所以 ． 因為是以為直徑的圓的半徑，為圓心，，
故以為直徑的圓與直線相切于右焦點．   …………14分