Question

（本題滿分14分
已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，
橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．
⑴求橢圓C的方程；
⑵設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓
于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；
⑶在⑵的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．

Answer 1

⑴；
⑵或；
⑶見解析

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解
（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，離心率得到參數(shù)a,c的關(guān)系，然后利用線與圓相切得到參數(shù)b的值，進(jìn)而得到橢圓的方程。
（2）設(shè)出直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，和判別式大于零得到直線的斜率的范圍。
（3）表示直線ME的方程，以及結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱關(guān)系，得到k的關(guān)系式，進(jìn)而得到直線與軸相交于定點(diǎn)
解:⑴由題意知，
所以，即，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224545391599.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
故橢圓的方程為：．-----------4分
⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為  ①
聯(lián)立消去得：，
由得，
又不合題意，
所以直線的斜率的取值范圍是或．---8分
⑶設(shè)點(diǎn)，則，
直線的方程為，
令，得，
將代入整理，得．     ②
由得①代入②整理，得，
所以直線與軸相交于定點(diǎn)．         ----------------14分