Question

如圖，正三棱錐O－ABC的三條側棱OA，OB，OC兩條垂直，且長度為2．E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，H是EF的中點，過EF的一個平面與側棱OA，OB，OC或其延長線分別相交于A₁，B₁，C₁，已知OA₁＝．

(Ⅰ)證明：B₁C₁⊥平面OAH；

(Ⅱ)求三棱錐O－A₁B₁C₁體積．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)依題設，EF是△ABC的中位線，所以EF∥BC， 　　又EF平面OBC，BC平面OBC，所以EF∥平面OBC，　2分 　　又EF面A1B1C1，面A1B1C1∩面OBC＝B1Cl，所以EF∥B1C1　4分 　　又H是EF的中點，所以AH⊥EF，則AH⊥B1C1．　5分 　　因為OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，所以OA⊥平面OBC， 　　而B1Cl平面OBC，所以OA⊥B1C1， 　　又OA∩AH＝A，所以B1C1 ⊥平面OAH．　8分 　　(Ⅱ)作EM⊥OB1于M，則EM∥OA，則M是OB的中點． 　　則EM＝OM＝1．設OB1＝x，則MB1＝x－1， 　　由＝得＝． 　　解得x＝3．即OB1＝OC1＝3．　11分 　　從而＝＝·OA1＝×(×32)×＝．　14分