Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，，，和都是等邊三角形.

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

（Ⅰ）證明：取BC的中點E，連結DE，則ABED為正方形.
過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.
連結OA，OB,OD,OE.
由和都是等邊三角形知PA=PB=PD，
所以OA=OB=OD，即點O為正方形ABED對角線的交點，
故，
從而.           3分
因為O是BD的中點，E是BC的中點，所以OE//CD.因此.  5分

（Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）知，，.
故平面PBD.
又平面PBD，所以.
取PD的中點F，PC的中點G，連結FG，
則FG//CD，FG//PD.
連結AF，由為等邊三角形可得AF⊥PD.
所以為二面角A-PD-C的平面角.         8分
連結AG，EG，則EG//PB.
又PB⊥AE，所以EG⊥AE.
設AB=2，則，，
故.
在中，，，，
所以.
因此二面角A-PD-C的大小為.      12分
解法二：
由（Ⅰ）知，OE,OB,OP兩兩垂直.
以O為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.

設，則
，，，.
，.
，.
設平面PCD的法向量為，則
，
，
可得，.
取，得，故.      8分
設平面PAD的法向量為，則
，
，
可得.
取m=1，得，故.
于是.
由于等于二面角A-PD-C的平面角，
所以二面角A-PD-C的大小為.     12分
（1）解題的關鍵是輔助線的添加，取BC的中點E是入手點，然后借助三垂線定理進行證明；（2）利用三垂線定理法或者空間向量法求解二面角. 求二面角：關鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線定理定角法，先找到一個半平面的垂線，然后過垂足作二面角棱的垂線，再連接第三邊，即可得到平面角。若考慮用向量來求：要求出二個面的法向量，然后轉化為,要注意兩個法向量的夾角與二面角可能相等也可能互補，要從圖上判斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后根據余弦值確定相等或互補即可。
【考點定位】本題考查線線垂直的證明和二面角的求解，考查學生的空間想象能力和計算能力。