Question

（本小題滿分12分）

如圖，在直四棱柱中，，，，為中點，點在上.

(1)試確定點的位置，使；

(2)當時，求二面角的正切值.

Answer 1

解法一：（1）連結AM，AC，B₁M，AB＝BC，∠ABC＝60°⇒△ABC為正三角形.

⇒MN⊥面AB₁M⇒MN⊥B₁M.…………3分

⇒⇒＝＝⇒NC＝.

即點N的位置在線段CC₁的四等分點且靠近C處.　　　………………………6分

(2)過M作ME⊥AB₁于E，連NE.由(1)知MN⊥面AB₁M，∴NE⊥AB₁(三垂線定理).

∴∠MEN為二面角M—AB₁—N的平面角.          　　　………………9分

MN＝＝，AM＝·2＝，B₁M＝，AB₁＝2.

在Rt△AB₁M中，ME＝＝.

在Rt△EMN中，tan∠MEN＝＝.

∴二面角M—AB₁—N的正切值為.         　　　……………………12分

解法二：(1)分別以BC，BB₁所在直線為軸，過B且與BC垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則.

.即點N所在位置在比線段CC₁的四等分點且靠近C點處.

(2) 設是平面NAB₁的一個法向量

，則

，

同理可得平面MAB₁的法向量  ，

，所以二面角

M—AB₁—N的正切值為.