Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，若對任意的x，y∈R，不等式f（x²+6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，則

x2+y2

的取值范圍是

（3，7）

．

Answer 1

分析：由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，結(jié)合圖象平移的知識可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱，從而可知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把問題轉(zhuǎn)化為（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于的有關(guān)知識可求．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱，即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）
又∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y² ）恒成立
∴x²-6x+21＜8y-y²
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立
設(shè)M （x，y），M表示以（3，4）為圓心2為半徑的圓內(nèi)的任意一點，
則x²+y²表示在圓內(nèi)任取一點與原點的距離的平方
∴3＜

x2+y2

＜7
故答案為：（3，7）

點評：本題考查了函數(shù)圖象的平移、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及圓的有關(guān)知識，解決問題的關(guān)鍵是把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，借助于圖形的幾何意義減少了運算量，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合：及”轉(zhuǎn)化”的思想在解題中的應(yīng)用．