Question

在△ABC中，CD是AB邊上的高，a²+c²＜b²，

CD2

AC2

+

CD2

BC2

=1，則（　　）

• A、A+B=

  π

  2

• B、A-B=

  π

  2

• C、B-A=

  π

  2

• D、|A-B|=

  π

  2

Answer 1

分析：在△ABC中，a²+c²＜b²由余弦定理可得∠B為鈍角，由

CD2

AC2

+

CD2

BC2

=1可得sin²A+sin²B=1，繼而得sin(π-B)=sin(

π

2

-A)，由條件可判斷π-B，

π

2

-A均為銳角，問題即可解決．

解答：解：由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

＜0，則90°＜B＜180°；
在Rt△BCD中，sin(π-B)=sinB=

CD

BC

，
在Rt△ACD中，sinA=

CD

AC

；又

CD2

AC2

+

CD2

BC2

=1，
又sin²A+sin²B=1，移項得sin²A=cos²B，又B∈(

π

2

，π)，
∴sin(π-B)=cosA=sin(

π

2

-A)，得B-A=

π

2

，
故選C．

點評：本題考查解三角形及三角恒等變換．解決的關鍵在于對條件

CD2

AC2

+

CD2

BC2

=1的轉化與應用，考查了學生綜合分析與應用三角函數公式的能力．