Question

【題目】2017年郴州市兩會(huì)召開(kāi)前夕，某網(wǎng)站推出兩會(huì)熱點(diǎn)大型調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，民生問(wèn)題時(shí)百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此問(wèn)題的約占80%，現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求出頻率分布直方圖中的a值，并求出這200的平均年齡；
（2）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率；
（3）若要從所有參與調(diào)查的人（人數(shù)很多）中隨機(jī)選出3人，記關(guān)注民生問(wèn)題的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖得：

（0.01+0.015+0.03+a+0.01）×10=1，

解得a=0.035

（2）解：分層抽樣的方法在第3組中應(yīng)抽取 =7人，

設(shè)事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，

則 為“抽取的3人中沒(méi)有1人年齡有第3組”，

則抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率：

P（A）=1﹣P（ ）=1﹣ =

（3）解：X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B（3， ），

且P（X=k）= ，k=0，1，2，3，

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

EX=np=3× =

【解析】（1）由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出a．（2）分層抽樣的方法在第3組中應(yīng)抽取7人，設(shè)事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，則 為“抽取的3人中沒(méi)有1人年齡有第3組”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率．（3）X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B（3， ），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列才能正確解答此題．