Question

已知二次函數f（x）滿足條件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數f（x）滿足條件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x，可求f（1）=1，f（-1）=3，從而可求函數f（x）的解析式；
（2）在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，等價于x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，等價于x²-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立，求出左邊函數的最小值，即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）令x=0，則∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（1）-f（0）=0，
∴f（1）=f（0）
∵f（0）=1
∴f（1）=1，
∴二次函數圖象的對稱軸為x=

1

2

．
∴可令二次函數的解析式為f（x）=y=a(x-

1

2

)2+h．
令x=-1，則∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（0）-f（-1）=-2
∵f（0）=1
∴f（-1）=3，
∴

1 4 a+h=1 9 4 a+h=3

∴a=1，h=

3

4

∴二次函數的解析式為y=f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

=x2-x+1
（2）∵在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方
∴x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立
∴x²-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立
令g（x）=x²-3x+1，則g（x）=（x-

3

2

）²-

5

4

∴g（x）=x²-3x+1在[-1，1]上單調遞減
∴g（x）_min=g（1）=-1，
∴m＜-1

點評：本題重點考查二次函數解析式的求解，考查恒成立問題的處理，解題的關鍵是將在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，轉化為x²-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立．