Question

定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若存在常數(shù)a，b，使得對(duì)于任意x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁+x₂=2a時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱(chēng)點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²圖象的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為1，則可求得 f（0）+f（

1

3

）+f（

2

3

）+f（1）+f（

4

3

）+f（

5

3

）+f（2）=

-14

．

Answer 1

分析：由題意先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)而利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心的意義即可求出．

解答：解：∵已知函數(shù)f（x）=x³-3x²圖象的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為1，
∴若取x₁=0，則x₂=2×1-0=2，
∴2b=f（0）+f（2）=0+2³-3×2²=-4，
∴此函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（1，-2）此點(diǎn)在函數(shù)圖象上．
∴f（0）+f（2）=f(

1

3

)+f(

5

3

)=f(

2

3

)+f(

4

3

)=f（1）+f（1）=-4，因此可得 f（0）+f（

1

3

）+f（

2

3

）+f（1）+f（

4

3

）+f（

5

3

）+f（2）=3×（-4）-2=-14．
故答案為-14．

點(diǎn)評(píng)：正確理解函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心的意義是解題的關(guān)鍵．