Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）+f（2-x）=2f（1），當x≥1時，f(x)=x+

4

x

且x∈[-2，2]時，n≤f（x）≤m恒成立，則m-n的最小值是（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  5

  3

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：根據x≥1時，f(x)=x+

4

x

，可以推出f（1）=5，可以得f（x）+f（2-x）=2f（1）=10，已知x≥1時的函數解析式，根據題中條件，畫出f（x）的草圖，在進行求解；

解答：解：∵當x≥1時，f(x)=x+

4

x

，
∴f（1）=1+4=5，
∴f（x）+f（2-x）=2f（1）=10，令x=0，
可得f（0）+f（2）=10，可得f（0）=6，
f（-2）+f（4）=10，可得f（-2）=5，
畫出f（x）的草圖：

f（x）在（0，2）上為減函數，f（x）在[-2，0]上是增函數，
∴f（x）在x∈[-2，2]上最小值為：f（2）=4，
最大值為f（0）=6，
∴m的最小值為6，n的最大值為4，
∴m-n的最小值是6-4=2，
故選D；

點評：此題主要考查函數的單調性以及應用，此題采用數形結合的方法進行求解，會比較簡單，是一道中檔題；