Question

（2013•杭州二模）在幾何體中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，CC₁∥AA₁，AB=BC，AA₁=2，CC₁=1，D，E分別是AB，AA₁的中點．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角E-DC-A的平面的正切值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的中位線定理可證DE∥平面A₁BC₁．利用平行四邊形的判定定理可證四邊形ECC₁A₁是平行四邊形，進而證明EC∥平面A₁BC₁，利用兩個平面平行的判定定理得到平面DEC∥平面A₁BC₁．利用兩個平面平行的性質定理可得結論；
（II）通過建立如圖所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：證明：（I）在△AA₁B中，
∵D，E分別是AB，AA₁的中點，
∴DE∥BA₁，
又∵DE?平面A₁BC₁，A₁B?平面A₁BC₁，
∴DE∥平面A₁BC₁．
∵AA₁=2，CC₁=1，E分別是AA₁的中點，
∴EA₁=CC₁，
又∵CC₁∥AA₁，∴四邊形ECC₁A₁是平行四邊形，
∴EC∥A₁C₁．
而EC?平面A₁BC₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴EC∥平面A₁BC₁，
∵ED∩EC=E，ED，EC?平面DEC，
∴平面DEC∥平面A₁BC₁．
∴BC₁∥平面CDE；
（II）∵AA₁⊥平面ABC，
∴可以建立如圖所示的空間直角坐標系，則E（0，0，1），A（0，0，0）．
不妨設AC=4a（a＞0），
∵AB⊥BC，AB=BC，D是AB的中點．
則C（0，4a，0），B（2a，2a，0），D（a，a，0）．
∴

DC

=(-a，3a，0)，

DE

=(-a，-a，1)．
設平面CDE的法向量為

n

=(x，y，z)，則

-ax+3ay=0 -ax-ay+z=0

令y=1，則x=3，z=4a．
∴

n

=(3，1，4a)．
∵AA₁⊥平面ABC，
∴可 取

AA1

=(0，0，2)作為平面ABC的法向量．
∴cos＜

n

，

AA1

＞=

n • AA1

| n | | AA1 |

=

8a

2 10+16a2

=

4a

10+16a2

，
∴sin＜

n

，

AA1

＞=

1-( 4a 10+16a2 )2

=

10

10+16a2

，
∴tan＜

n

，

AA1

＞=

10

4a

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質定理、線面與平面平行的判定和性質定理、通過建立如圖所示的空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關鍵．