Question

設函數       其中常數m為整數.

 (1) 當m為何值時,

 (2) 定理: 若函數g(x) 在[a, b ]上連續,且g(a) 與g(b)異號,則至少存在一點x₀∈(a,b),使g(x₀)=0.

 試用上述定理證明:當整數m>1時,方程f(x)= 0,在[e^-ｍ-m ,e^2ｍ-m ]內有兩個實根.

Answer 1

（I）解：函數f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續，且

當x∈(-m,1-m)時,f ^’（x）<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1-m)

當x∈(1-m, +∞)時,f ^’（x）>0,f(x)為增函數,f(x)>f(1-m)

根據函數極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且

對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故當整數m≤1時，f(x) ≥1-m≥0

(II)證明：由（I）知，當整數m>1時，f(1-m)=1-m<0,

函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續減函數.

由所給定理知，存在唯一的

而當整數m>1時，

類似地，當整數m>1時，函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續增函數且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的

故當m>1時，方程f(x)=0在內有兩個實根。