Question

拋物線的頂點在原點，焦點是橢圓x²+5y²=5的左焦點，過點M（-1，1）引拋物線的弦使點M為弦中點．求弦所在的直線方程，并求出弦長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出橢圓的左焦點，即為拋物線的焦點，得到拋物線方程，設拋物線的弦所在方程，聯立拋物線方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，列出方程，求出k，注意檢驗判別式，再由弦長公式即可得到．

解答： 解：橢圓x²+5y²=5即為

x2

5

+y²=1的左焦點為（-2，0），
則拋物線方程為y²=-8x，
設拋物線的弦所在的直線為y-1=k（x+1），
聯立拋物線的方程，消去y，得，k²x²+[2k（1+k）+8]x+（1+k）²=0，
則△=[2k（1+k）+8]²-4k²（1+k）²＞0，
x₁+x₂=-

2k(1+k)+8

k2

，x₁x₂=

(1+k)2

k2

由M（-1，1）為弦的中點，可得-

2k(1+k)+8

k2

=-2，
解得，k=-4，
則△＞0成立，則弦所在的直線方程為：4x+y+3=0；
則x₁+x₂=-2，x₁x₂=

1

4

，
則弦長為

1+(-4)2

•

(-2)2-4× 1 4

=

51

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，拋物線的方程的求法，考查聯立直線方程好額拋物線方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．