Question

在平面直角坐標系中，橢圓為

（1）若一直線與橢圓交于兩不同點，且線段恰以點為中點，求直線的方程；

（2）若過點的直線（非軸）與橢圓相交于兩個不同點試問在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出點的坐標及實數的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在軸上存在定點，使恒為定值。

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關系綜合運用。

（1）點在橢圓內部，直線與橢圓必有公共點

再利用點差法得到中點坐標與直線斜率的關系式，

（2）假定存在定點，使恒為定值

由于直線不可能為軸

于是可設直線的方程為且設點

將代入得到一元二次方程，進而利用向量的關系得到參數的值。

解：（1）點在橢圓內部，直線與橢圓必有公共點

設點，由已知，則有

兩式相減，得

而直線的斜率為

直線的方程為

（2） 假定存在定點，使恒為定值

由于直線不可能為軸

于是可設直線的方程為且設點

將代入得

.

顯然

，

則

若存在定點使為定值（與值無關），則必有

在軸上存在定點，使恒為定值