Question

已知函數f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調增區間；
（2）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求函數f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）找出函數f（x）解析式中的ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期，由正弦函數的單調遞增區間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為函數的單調遞增區間；
（2）由x的范圍，求出2x+

π

4

的范圍，根據正弦函數的圖象與性質可得2x+

π

4

為

π

2

時，f（x）取得最大值，當2x+

π

4

為-

π

4

時函數f（x）取得最小值，分別求出最大值和最小值即可．

解答：解：（1）f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

ω

=π，（2分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
故函數f（x）的單調增區間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；（7分）
（2）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，（2x+

π

4

）∈[-

π

4

，

3π

4

]，（9分）
故當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，f（x）有最大值

2

，（11分）
當2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

時，f（x）有最小值-1．（12分）

點評：本題考查三角函數的最值，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的單調性，考查計算能力，熟練掌握正弦函數的圖象與性質是解本題的關鍵．