Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E為AB的中點，點F為BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A₁．
（1）求證：A₁D⊥EF；
（2）M為EF的中點，求DM與面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）證明A₁D⊥EF，只要證明A₁D⊥平面A₁EF即可；
（2）由（1）知 A₁D⊥平面 A₁EF，連接A₁M，則∠A₁MD為DM與面A₁EF所成角，在直角△A₁MD中，可求sin∠A₁MD．

解答：（1）證明：由題知，∵A₁D⊥A₁E，A₁D⊥A₁F，A₁E∩A₁F=A
∴A₁D⊥平面A₁EF
∵EF?平面A₁EF
∴A₁D⊥EF
（2）解：由（1）知 A₁D⊥平面 A₁EF，連接A₁M，則∠A₁MD為DM與面A₁EF所成角
∵邊長為2的正方形ABCD中，E為AB的中點，點F為BC的中點
∴|BD|=2

2

，|BM|=

2

2

，|DM|=|BD|-|BM|=

3 2

2

在直角△A₁MD中，|A₁D|=2，∴sin∠A₁MD=

2 2

3

∴DM與面A₁EF所成角的正弦值為

2 2

3

．

點評：本題考查線面垂直的判斷，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定定理，正確作出線面角．