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設函數(shù)f(x)≥0，且對任意實數(shù)x、y，有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，求證：f(nx)=n2f(x)。

 

答案：
解析：

(1)當n=1時，命題顯然成立：

(2)設n=k(k∈N)時命題成立，即f(kx)=k2f(x)，

則當n=k+1時，由f(x)≥0，

f[(k+1)x]=f(kx+x)=f(kx)+f(x)+2

=k2f(x)+f(x)+2=k2f(x)+f(x)+2kf(x)

=(k+1)2f(x)。

    ∴n=k+1時命題也成立。

    由(1)、(2)可知，時一切n∈N，f(nx)=n2f(x)成立。

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集．設函數(shù)f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q)
，則（　　）
A、函數(shù)y=f（x）的圖象是兩條平行直線
B、
lim
x→∞
f(x)=0或
lim
x→∞
f(x)=1
C、函數(shù)f[f（x）]恒等于0
D、函數(shù)f[f（x）]的導函數(shù)恒等于0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
0，(x＜0)
x，(0≤x＜1)
-x2+4x-2(1≤x＜3)
4-x，(x≥3)

（Ⅰ）在x=0，x=3處函數(shù)f（x）是否連續(xù)；
（Ⅱ）畫出函數(shù)的圖象；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文）已知R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集．設函數(shù)f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q).
則（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=(0≤x＜1)的反函數(shù)為f-1(x),則…(    )

A.f-1(x)在其定義域上是增函數(shù)且最大值為1

B.f-1(x)在其定義域上是減函數(shù)且最小值為0

C.f-1(x)在其定義域上是減函數(shù)且最大值為1

D.f-1(x)在其定義域上是增函數(shù)且最小值為0

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集．設函數(shù)f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q)
，則（　　）
A．函數(shù)y=f（x）的圖象是兩條平行直線
B．
lim
x→∞
f(x)=0或
lim
x→∞
f(x)=1
C．函數(shù)f[f（x）]恒等于0
D．函數(shù)f[f（x）]的導函數(shù)恒等于0

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