Question

已知函數 y=f （x） 的定義域為 R，其導數 f′（x） 滿足 0＜f′（x）＜1，常數 α 為方程 f （x）=x的實數根．
（1）求證：當 x＞α 時，總有 x＞f （x） 成立；
（2）對任意 x₁、x₂若滿足|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，求證：|f （x₁）-f （x₂）|＜2．

Answer 1

分析：（1）構造函數g（x）=x-f（x），我們可以利用導數法判斷出函數g（x）的單調性，進而得到當x＞a時，總有f（x）＜x成立；
（2）由|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，可得α-1＜x₁＜α+1，α-1＜x₂＜α+1，利用f′（x）的范圍可判斷f （x） 在 R 上是增函數，根據f（x）的單調性及（1）問的結論即可得證．

解答：（1）證明：令 g（x）=x-f （x），則 g′（x）=1-f′（x），
∵0＜f′（x）＜1，∴g′（x）=1-f′（x）＞0，
∴函數 g（x）=x-f （x）為R上的增函數，
∴當 x＞α時 g（x）=x-f （x）＞g（α）=α-f （α）=0，
∴當 x＞α時，總有 x＞f （x） 成立；
（2）證明：∵|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，
∴α-1＜x₁＜α+1，α-1＜x₂＜α+1，
 又 0＜f′（x）＜1，
∴f （x） 在 R 上是增函數，
∴f （α-1）＜f （x₁）＜f （α+1），f （α-1）＜f （x₂）＜f （α+1），
∴f （α-1）-f （α+1）＜f （x₁）-f （x₂）＜f （α+1）-f （α-1），
∴|f （x₁）-f （x₂）|＜f （α+1）-f （α-1），
由 （1）知：f （α+1）＜α+1；-f （α-1）＜-（α-1），
∴|f （x₁）-f （x₂）|＜f （α+1）-f （α-1）＜2，
∴|f （x₁）-f （x₂）|＜2．

點評：本題考查的知識點是函數與方程的綜合運用，其中利用導數法判斷函數f（x）的單調性及g（x）=x-f（x）的單調性是解答本題的關鍵．