Question

設點P是拋物線C：x²=2py（p＞0）在第一象限內的任意一點，過P作拋物線C的切線l交x軸于點M，F為拋物線C的焦點，點Q滿足，若△PFQ是面積為的等邊三角形，則p的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由拋物線方程求出焦點坐標，設出動點P的坐標，利用導數求出過點P的切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，取y=0得到點M的坐標，根據給出的向量式得到M為FQ的中點，由中點坐標公式得到Q點的坐標，再由△PFQ是面積為的等邊三角形列式計算p的值．
解答：解：因為拋物線C：x²=2py，所以焦點F（0，）；
設P點坐標為P（n，），
由x²=2py，得，
則．
直線PM方程為：，取y=0得與x軸交點M（，0）；
由，則M為FQ連線的中點．
由中點坐標公式可得Q（n，-）；
因為△PFQ是等邊三角形，故有PQ²=PF²=FQ²．
由于S_△PFQ=，∴PF=PQ=FQ=2．
，所以n²+p²=4p．
FQ²=n²+p²=2²=4，與上式對比可知，p=1．
故答案為1．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，利用導數求過拋物線上點P的切線方程是解答該題的關鍵，考查了學生的計算能力．是中檔題．