Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點為。
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知直線y=k（x+）與拋物線C交于A，B兩點，且|FA|=2|FB|，求k的值；
（3）設點P是拋物線C上的動點，點R，N在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內切于△PRN，求△PRN的面積最小值。

Answer 1

解：（1）設拋物線C的方程為y²=2px（p>0）
由，即p=1
所以拋物線C的方程為y²=2x。
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，
故
即
又由得
故
 
解①②③構成的方程組得x₁=1，，
又由Δ=（k²-2）²-k⁴=4-4k²>0，即-1＜k＜1，所求得的k適合，
因此所求得的k的值為。
（3）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b>c，
∴直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
∵圓（x-1）²+y²=1內切于△PRN，
則圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
，化簡，得
（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0
由于x₀>2，所以b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
∴
∴
∴

當且僅當x₀=4時取等號，
所以△PRN的面積最小值為8。