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設是由滿足下列兩個條件的函數構成的集合：①方程 有實根; ②函數的導函數滿足（1）判斷函數是不是集合中的元素,并說明理由;（2）若集合的元素具有以下性質：“設的定義域為,對于任意都存在使得等式成立.”試用這一性質證明：方程只有一個實數根；（3設是方程的實根,求證:對函數定義域中任意,,當,且時, .

（1） （2）略；（3）略


解析:

：（1）函數是集合中的元素.事實上，方程就是此方程有實根0.又而,所以

   ,滿足  ……3分

（2）用反證法.假設方程有兩個不相等的實數根,則

由函數性質, 存在使得等式

成立,即而

所以,此與矛盾.故方程只有一個實數根.………8分

（3）不妨設.因為所以在其定義域上是增函數,于是

又因為所以是定義域上的減函數.于是

即

  故<1+1=2

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列兩個條件的函數f（x）構成的集合：
（1）方程f（x）-1=0有實數解；
（2）函數f（x）的導數f'（x）滿足0＜f'（x）＜2，給出如下函數：
①f（x）=x+sinx；
②f(x)=x+tanx，x∈(-
π
2
，
π
2
)；
③f（x）=x+log3x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2x．
其中是集合M中的元素的有
 
．（只需填寫函數的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設S是由滿足下列兩個條件的實數組成的集合：
①不含1；
②a∈S，則
11-a
∈S．
問：
（Ⅰ）如果2∈S，研究S中元素個數，并求出這些元素；
（Ⅱ）集合S中元素的個數能否只有一個？

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列兩個條件的函數構成的集合：

       ①議程有實根；②函數的導數滿足0<<1.

   （I）若，判斷方程的根的個數；

   （II）判斷（I）中的函數是否為集合M的元素；

   （III）對于M中的任意函數，設x1是方程的實根，求證：對于定義域中任意的x2，x3，當| x2－x1|<1，且| x3－x1|<1時，有

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科目：高中數學 來源：江蘇省連云港市09-10學年高二上學期期末考試（數學理） 題型：填空題

 設是由滿足下列兩個條件的函數構成的集合：

（1）方程有實數解；

（2）函數的導數滿足，給出如下函數：

①；

②

③

④。

其中是集合中的元素的有              。（只需填寫函數的序號）

 

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