Question

設(shè)S是由滿足下列兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)組成的集合：
①不含1；
②a∈S，則

1

1-a

∈S．
問(wèn)：
（Ⅰ）如果2∈S，研究S中元素個(gè)數(shù)，并求出這些元素；
（Ⅱ）集合S中元素的個(gè)數(shù)能否只有一個(gè)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）如果2∈S，根據(jù)條件進(jìn)行遞推即可確定其他元素；
（Ⅱ）利用集合S中元素的個(gè)數(shù)能只有一個(gè)，得到方程

1

1-a

=a只有一解即可，考查方程解的情況．

解答：解：（Ⅰ）如果2∈S，根據(jù)條件得

1

1-2

=-1∈S，

1

1-(-1)

=

1

2

∈S，

1

1- 1 2

=2∈S，

1

1-2

=-1∈S，此時(shí)元素進(jìn)行循環(huán)，所以集合中還有元素-1，

1

2

．
所以集合中的元素為-1，2，

1

2

．
（Ⅱ）若集合S中元素的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則方程

1

1-a

=a有解，得a²-a+1=0，但該方程無(wú)解．
故集合S中元素的個(gè)數(shù)不可能只有一個(gè)元素．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合元素的判斷和推導(dǎo)，考查學(xué)生的分析能力．