Question

已知向量

β

=

.

3 1

.

，變換T的矩陣為A=

.

1 b c 1

.

，平面上的點(diǎn)P（1，1）在變換T作用下得到點(diǎn)P′（3，3），求A⁴

β

．

Answer 1

分析：先利用待定系數(shù)法建立一個(gè)二元一次方程組，解方程組即可得出變換T的矩陣，再根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式 f（λ），令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量，最后

β

利用特征向量的性質(zhì)計(jì)算，先利用特征向量表示向量

β

，后將求 A⁴

β

的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計(jì)算問題．

解答：解：則有

1 b c 1

1 1

=

3 3

，
所以

1+b=3 c+1=3

，
解得

b=2 c=2

，所以T=

1 2 2 1

，
矩陣T的特征多項(xiàng)式為 f（λ）=

.

λ-1 2 2 λ-1

.

=λ²-2λ-1，
令f（λ）=0，得λ₁=-1，λ₂=3，
當(dāng)λ₁=-1時(shí)，得 

α1

=

1 1

，當(dāng)λ₂=3時(shí)，得

α2

=

1 -1

．（7分）
由 

β

=m

α1

+n

α2

得 

m+n=3 m-n=1

，得m=2，n=1．
∴A⁴

β

=2λ

4 1

α1

+λ

4 2

α2

=

163 161

（15分）

點(diǎn)評：本題主要考查了特征值與特征向量的計(jì)算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于向量中的基礎(chǔ)題．