Question

已知函數f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，求使f（x）＞2的x的集合．

Answer 1

分析：直接利用f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，得到方程組求出a，b的值，然后利用二倍角、兩角和的正弦函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，利用f（x）＞2，利用正弦函數值域，求出不等式的解集即可．

解答：解：由題意

f(0)=2acos0+bsin0cos0=2a=2 f( π 3 )=2acos2 π 3 +bsin  π 3 cos π 3 = 1 2 a+ 3 4 b= 1 2 + 3 2

⇒

2a=2 1 2 a+ 3 4 b= 1 2 + 3 2

⇒

a=1 b=2

…（4分）
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+1…（9分）
又f（x）＞2，

2

sin(2x+

π

4

)+1＞2，
即sin（2x+

π

4

）＞

2

2

⇒2kπ+

π

4

＜2x+

π

4

＜2kπ+

3π

4

，k∈Z
即：kπ＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z…（12分）
所求使f（x）＞2的x的集合為{x|kπ＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}…（13分）

點評：本題是中檔題，考查函數解析式的求法，三角不等式的解法，考查計算能力，轉化思想．