Question

已知函數（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的極值；
（Ⅱ）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數圖象上存在點M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂）），使得點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴隨切線”．特別地，當時，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試問：在函數f（x）的圖象上是否存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x）根據且f'（1）=0求出a和b的關系即可，根據自變量的取值范圍及a＞0，令導函數大于0得到函數的增區間，令導函數小于0得到函數的減區間，根據增減性得到函數的極值即可；
（Ⅱ）不存在，設兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入到函數關系式中，然后求出直線AB的斜率，并求出在M的切線的斜率，兩者相等得到等式，化簡后令其左邊設為函數g（t），求出函數g（t）的最小值，這表明在函數f（x）上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），∵，f'（1）=1-a+b=0，∴b=a-1．
代入，得．
當f'（x）＞0時，，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
又a＞0，∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上單調遞增；
當f'（x）＜0時，，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
又a＞0，∴x＞1，即f（x）在（1，+∞）上單調遞減．
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
所以，當x=1時，f（x）的極大值為
（Ⅱ）在函數f（x）的圖象上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”．
假設存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設0＜x₁＜x₂，則，，==，
在函數圖象處的切線斜率，
由=
化簡得：，=．
令，則t＞1，上式化為：=，即，
若令，，
由t≥1，g'（t）≥0，∴g（t）在[1，+∞）在上單調遞增，g（t）＞g（1）=2．
這表明在（1，+∞）內不存在t，使得=2．
綜上所述，在函數f（x）上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”．
點評：考查利用導數研究函數單調性的能力，利用導數求函數極值的能力，以及直線斜率的計算公式．