Question

（本小題共13分）

已知正方形ABCD的邊長為1，．將正方形ABCD沿對角線折起，使，得到三棱錐A—BCD，如圖所示．

（I）若點M是棱AB的中點，求證：OM∥平面ACD；

（II）求證：；

（III）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）略

（3）

【解析】解：(I) 在正方形ABCD中，是對角線的交點，

O為BD的中點，                                             ---------------------1分

又M為AB的中點，

 OM∥AD.                                                   ---------------------2分

又AD平面ACD，OM平面ACD，                             ---------------------3分

OM∥平面ACD.                                              ---------------------4分

（II）證明：在中，，，              ---------------------5分

，.                          ---------------------6分

又 是正方形ABCD的對角線，

，                                               --------------------7分

又.                           --------------------8分

（III）由（II）知，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，如圖，以O為原點，建立

空間直角坐標系.

則，               

是平面的一個法向量.                      --------------------9分

，，                      

設平面的法向量,則，.

即，                              --------------------11分

所以且令則，，解得.

                                                            --------------------12分

從而，二面角的余弦值為..