Question

若函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當x=2時，函數(shù)f（x）有極值-

4

3

．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）若關于x的方程f（x）=k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)進行求導，然后根據(jù)f（2）=-

4

3

，f′（2）=0可求出a，b的值，進而確定函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）中解析式然后求導，然后令導函數(shù)等于0求出x的值，然后根據(jù)函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系確定單調性，進而函數(shù)的極值；
（3）由（2）得到函數(shù)的單調區(qū)間進而確定函數(shù)的大致圖象，最后找出k的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²-b
由題意知

f′(2)=12a-b=0 f(2)=8a-2b+4=- 4 3

，
解得

a= 1 3 b=4

，
∴所求的解析式為f（x）=

1

3

x³-4x+4；
（2）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2）
令f′（x）=0，得x=2或x=-2，
∴因此，當x=-2時，f（x）有極大值

28

3

，
當x=2時，f（x）有極小值-

4

3

；
（3）由（2）知，得到當x＜-2或x＞2時，f（x）為增函數(shù)；當-2＜x＜2時，f（x）為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=

1

3

x³-4x+4的圖象大致如圖．
由圖可知：-

4

3

＜k＜

28

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性、極值與其導函數(shù)之間的關系．導數(shù)是高等數(shù)學下放到高中的內容，是高考的熱點問題，每年必考，要給予充分重視．