Question

11．過(guò)拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)作直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線x=-3的距離之和等于7，則滿足條件的l（　　）

• A． 恰有一條
• B． 恰有兩條
• C． 有無(wú)數(shù)多條
• D． 不存在

Answer 1

分析 先求出A，B到準(zhǔn)線的距離之和的最小值，進(jìn)而可得A，B到直線x=-3的距離之和的最小值，利用條件可得結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線方程為x=-2，
設(shè)A，B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則A，B到直線x=-2的距離之和丨AB丨=x₁+x₂+4，
設(shè)直線方程為x=my+2，代入拋物線y²=8x，則y²=8（my+2），即y²-8my-16=0，
y₁+y₂=8m，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=8m²+4，
∴x₁+x₂+4=8m²+8≥8，
∴A，B到直線x=-3的距離之和x₁+x₂+4+2≥10＞7，
∴過(guò)焦點(diǎn)使得到直線x=-3的距離之和等于7的直線不存在，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．