Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大��；

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 　　所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中， 　　由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB． 　　同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD． 　　(Ⅱ)解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD． 　　知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，連結EH， 　　則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角． 　　又PE∶ED＝2∶1，所以 　　從而 　　(Ⅲ)解法一　以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖．由題設條件，相關各點的坐標分別為 　　 　　 　　所以 　　 　　 　　設點F是棱PC上的點，其中則 　　 　　 　　令得 　　 　　解得 　　即時， 　　亦即，F是PC的中點時，、、共面． 　　又BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時， BF∥平面AEC． 　　解法二　當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC，證明如下， 　　證法一　取PE的中點M，連結FM，則FM//CE．① 　　由知E是MD的中點． 　　連結BM、BD，設BDAC＝O，則O為BD的中點． 　　所以BM∥OE．② 　　由①、②知，平面BFM//平面AEC． 　　又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC． 　　證法二 　　因為 　　 　　所以、、共面． 　　又BF平面ABC，從而BF∥平面AEC．