Question

已知函數：f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數y=f（x）的圖像在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，函數g（x）=x³+x²[+f′（x）]在區間（2，3）上總存在極值？
（3）求證：。

Answer 1

解：（1），
當a＞0時，f（x）的單調增區間為，減區間為；
當a＜0時，f（x）的單調增區間為，減區間為；
當a=0時，f（x）不是單調函數；
（2）因為函數y=f（x）的圖像在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
所以f′（2）=1，
所以a=-2，，
，
，
要使函數在區間（2，3）上總存在極值，
所以只需，
解得；
（3）令a=-1，此時f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），
即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，
則有0＜lnn＜n-1，
∴，
∴。