Question

某工廠生產一種機器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產100臺，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元.市場對此產品的年需求量為500臺，銷售的收入函數為R（x）=5x-（萬元）(0≤x≤5)，其中x是產品售出的數量（單位：百臺）.

（1）把利潤表示為年產量的函數；

（2）年產量是多少時，工廠所得利潤最大？

（3）年產量是多少時，工廠才不虧本？

Answer 1

（1）L（x）==

（2）生產475臺時利潤最大(3) 產品年產量在10臺至4 800臺時，工廠不虧本

解析:

（1）當x≤5時，產品能售出x百臺；

當x＞5時，只能售出5百臺，

故利潤函數為L（x）=R（x）-C（x）

=

  (2)當0≤x≤5時，L（x）=4.75x--0.5，

當x=4.75時，L(x)_max=10.781 25萬元.

當x＞5時，L（x）=12-0.25x為減函數，

此時L（x）＜10.75(萬元）.∴生產475臺時利潤最大.

（3）由

得x≥4.75-=0.1(百臺）或x＜48(百臺).

∴產品年產量在10臺至4 800臺時，工廠不虧本.