Question

在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中，F為右焦點，B為左頂點．點A在x軸正半軸上，且滿足|OA|，|OB|，|OF|成等比數列．過F作C位于一、三象限內的漸近線的垂線，垂足為P．
（1）求證：

PA

•

OP

=

PA

•

FP

；
（2）若

|OB|

|OA|

=2，|FP|=2

3

，過點（0，-2）的直線l與雙曲線C交于不同兩點M與N，O為坐標原點．求

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由|OA|，|OB|，|OF|成等比數列求出A點坐標．再由過F作C，位于一、三象限內的漸近線的垂線，垂足為P，求得p點坐標，根據P、A點坐標得PA⊥OF，再把要證明的結論變形即可．
（2）由給出的條件先求出雙曲線C的方程，設直線l的方程y=kx-2；再把

OM

•

ON

用M和N的坐標表示，即含k的代數式，利用直線和雙曲線的方程有兩不等根，即△＞0，解得k的范圍，從而求出

OM

•

ON

的范圍．

解答：解：（1）設A（x，0），x＞0．而F（c，0），B（-a，0）．
由題意得，a²=x•c，所以x=

a2

c

，即A(

a2

c

，0)．
雙曲線位于一、三象限的漸近線方程為y=

b

a

x，其過F的垂線為y=-

a

b

(x-c)，
聯立兩直線方程可求出P(

a2

c

，

ab

c

)．
可見PA⊥OF

PA

•

OP

-

PA

•

FP

=

PA

•(

OP

-

FA

)=

PA

•

OF

=0，所以

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）因為

|OB|

|OA|

=

a

a2 c

=

c

a

=2，|FP|=

bc

a2+b2

=b=2

3

，所以C：

x2

4

-

y2

12

=1
設l：y=kx-2代入雙曲線方程得（3-k²）x²+4kx-16=0，又設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4，
由韋達定理，上式=12+

40

k2-3

．再由△=16k²+4×16（3-k²）＞0?0≤k²＜4且k²≠3，
由此可求出

OM

•

ON

的范圍是(-∞，-

4

3

]∪(52，+∞)

點評：此題是一道數列和雙曲線的綜合應用題，該題考查了雙曲線的幾何性質，直線和雙曲線的關系，
解答此題關鍵在于找出幾何關系及直線和雙曲線的交點與方程組的解相互聯系，不要忽視了“△＞0”這個隱含條件．