Question

【題目】已知橢圓C：.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設(shè)分別為橢圓C的左右頂點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點(diǎn)M,N.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí),以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn)和,證明見解析

【解析】

（1）先將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到,即可求出離心率.

（2）根據(jù)橢圓方程求出,設(shè),則①,分別求出直線和的方程,再分別與相交于點(diǎn) 和,設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn),則,即得②,將①代入②得

解得或,得出為直徑的圓是過定點(diǎn)和.

解：（1）由得,

那么

所以

解得,所以離心率

（2）由題可知,

設(shè),則①

直線的方程：

令,得,從而點(diǎn)坐標(biāo)為

直線的方程：

令,得,從而點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn),則

由得②

由①式得,代入②得

解得或

所以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn)和.