Question

8．“0＜m＜3”是“方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1表示離心率大于$\frac{1}{2}$的橢圓”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 求出“方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1表示離心率大于$\frac{1}{2}$的橢圓”的充要條件，根據集合的包含關系判斷即可．

解答 解：m＞4時，橢圓的焦點在y軸上，
此時a²=m，b²=4，c²=m-4，
故$\frac{m-4}{m}$＞$\frac{1}{4}$，解得：m＞$\frac{16}{3}$，
0＜m＜4時，橢圓的焦點在x軸上，
此時a²=4，b²=m，c²=4-m，
故$\frac{4-m}{4}$＞$\frac{1}{4}$，解得：0＜m＜3，
故“0＜m＜3”是“方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1表示離心率大于$\frac{1}{2}$的橢圓”的充分不必要條件，
故選：A．

點評 本題考查了充分必要條件，考查橢圓的性質以及分類討論思想，是一道基礎題．