Question

已知定圓A：（x+1）²+y²=16，圓心為A，動圓M過點B（1，0）且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若點P（x，y）為曲線C上一點，求證：直線l：3xx+4yy-12=0與曲線C有且只有一個交點．

Answer 1

【答案】分析：（I）依據(jù)條件判斷定圓和動圓相內切，再依據(jù)橢圓的定義寫出曲線C的方程．
（II）分類討論，當y=0時，檢驗直線l：3xx+4yy-12=0與曲線C有且只有一個交點，當y≠0時，把直線和橢圓方程聯(lián)立方程組，利用點P（x，y）為曲線C上一點，求出只有一個解，并說明直線和橢圓只有唯一交點．
解答：解：（I）圓A的圓心為A（-1，0），半徑r₁=4，
設動圓M的圓心M（x，y），半徑為r₂，依題意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，
所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，
設橢圓方程為，由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
故曲線C的方程為（6分）
（II）解：當，當x=2，y=0時，直線l的方程為x=2，
直線l與曲線C有且只有一個交點（2，0）．
當x=-2，y=0時，直線l的方程為x=-2，
直線l與曲線C有且只有一個交點（-2，0）．
，

消去y，得（4y²+3x³）x²-24xx+48-16y²=0．①
由點P（x，y）為曲線C上一點，
于是方程①可以化簡為x²-2xx+x²=0．解得x=x，
，
故直線l與曲線C有且有一個交點P（x，y），
綜上，直線l與曲線C有且只有一個交點，且交點為P（x，y）．（13分）
點評：本題考查兩圓的位置關系、用定義法求軌跡方程，直線和橢圓位置關系的綜合應用．