Question

已知函數．設數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}滿足，，求證：對一切正整數n≥1都有＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）知：，由此能求出．
（2）由b_n+1=（1+b_n）²•，知b_n+1=b_n（b_n+1），故=，由此利用裂項求法能夠證明對一切正整數n≥1都有＜2．
解答：（1）解：∵，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），
∴，…1分
=，…..3分
=1，…5分
∴{}是以為首項，1為公差的等差數列，
即，
∴．…6分
（2）證明：由已知得b_n+1=（1+b_n）²•，
∴b_n+1=b_n（b_n+1），顯然b_n∈（0，+∞），…7分
∴=====，…9分
∴
=（）+（）+…+（）
=
=2-＜2．…11分
所以，對一切正整數n≥1都有＜2．…12分
點評：本題考查數列的通項公式的求法和不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．