Question

一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖所示，在包圍該三棱錐的外接球內任取一點，該點落在三棱錐內部的概率為（　　）

• A．

  4

  27π

• B．

  2

  27π

• C．

  4

  9π

• D．

  2

  9π

Answer 1

分析：由題意可知，本題是一個等可能事件的概率，試驗發生的所有的事件對應著球的體積，滿足條件的事件是在三棱錐的體積，由三視圖得到三棱錐的側棱長度，求其外接球體積即可．

解答：解：本題是一個等可能事件的概率，試驗發生的所有的事件對應著球的體積，
球的直徑

16+16+4

=6，
∴球的體積是

4

3

π×33=36π
滿足條件的事件是在三棱錐的體積，
三棱錐的三條側棱互相垂直，體積是

1

3

×4×

1

2

×4 ×2=

16

3

，
∴在三棱錐的外接球內任取一點，該點落在三棱錐內部的概率為

16 3

36π

=

4

27π

故選A．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查學生的空間想象能力，解題的關鍵是由三視圖求體積，注意兩兩垂直的三條側棱可以組成長方體的一個頂點處的三條棱．