Question

已知函數f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在區間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值與最大值．
（3）將函數y=f（x）的圖象按向量

d

平移，使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的

d

．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數解析式，從而求得函數f（x）的最小正周期．
（2）利用函數f（x）的單調性求出函數f（x）在區間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值和最小值．
（3）設平移后的圖象的函數解析式為y=g（x），根據圖象關于原點成中心對稱，可得

d

=(-

kπ

2

+

3π

8

，-2)，
為使

d

的模最小，取k=1，此時

d

=(-

π

8

，-2)．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1=cos2x-sin2x+2=2+

2

sin(2x+

3π

4

)．（2分）
因此，函數f（x）的最小正周期為π．（4分）
（2）因為f(x)=2+

2

sin(2x+

3π

4

)在區間[

π

8

，

3π

8

]上是減函數，在區間[

3π

8

，

3π

4

]上是增函數，
又f(

π

8

)=2，f(

3π

8

)=2-

2

，f(

3π

4

)=3．（8分）
所以，函數f（x）在區間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值為3，最小值為2-

2

．（10分）
（3）設平移后的圖象的函數解析式為y=g（x），因為g（x）的圖象關于原點成中心對稱，所以g(x)=

2

sin(2x+kπ)(k∈Z)，所以

d

=(-

kπ

2

+

3π

8

，-2)，（12分）
為使

d

的模最小，則取k=1，此時

d

=(-

π

8

，-2)．（14分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，周期性和單調性，以及三角函數的圖象的變換，解題的關鍵是對函數解析式的化簡，以及對正弦函數的基礎知識的熟練記憶，屬于中檔題．