Question

【題目】三棱柱中，是的中點，與交于點，在線段上，且.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，，三棱錐的體積為，求三棱柱的高.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)6.

【解析】解法1：

（Ⅰ）連結，交于點，連結.則有.

由題意，可知，所以，

　　　　 所以，故，

　　　　 又，所以，

　　　　 所以，

　　　　 又因為平面,平面,

所以平面.　

（Ⅱ）設三棱柱的高為.

在中，

由余弦定理，得，

即，解得，

所以的面積為，

由（Ⅰ）可知，點到平面的距離等于點到平面的距離，

所以，

又因為，

所以，故，

又，

所以，解得，

故三棱柱的高為6.

解法2：（Ⅰ）取的中點，連結.則有，

　　　　 所以四邊形為平形四邊形，故，

　　　　 又平面,平面,

所以平面.

由題意，可知，所以，

　　　　 故∽，所以，

　　　　 又，故.

　　　　 又，所以，

　　　　 又平面,平面,

所以平面，　

　　　　 又因為平面，，

　　　　 所以平面平面.

　　　　 又平面，

所以平面.　

（Ⅱ）同解法1.