Question

已知橢圓E的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸，且拋物線的焦點是它的一個焦點，又點在該橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為直線l與橢圓E交于不同的兩點B、C，當△ABC面積的最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出拋物線的焦點，即得橢圓的焦點，設(shè)出橢圓方程為將點A（1，）代入，求出a，即得橢圓方程；
（2）用待定系數(shù)法設(shè)直線BC的方程為y=x+m，將其與橢圓的方程聯(lián)立求同弦長BC，再求出點A到此弦的距離，將三角形的面積用參數(shù)表示出，判斷出它取到最大值時的參數(shù)m的值即可得到直線l的方程
解答：解：（1）由已知拋物線的焦點為（0，-），故設(shè)橢圓方程為．
將點A（1，），代入方程得，，得a²=4或a²=1（舍）（4分）
故所求橢圓方程為（5分）
（2）設(shè)直線BC的方程為y=x+m，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入橢圓方程并化簡得，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0可得m²＜8，①
由，
故|BC|=|x₁-x₂|=．
又點A到BC的距離為d=
故=≤×=
當且僅當2m²=16-2m²，即m=±2時取等號（滿足①式），S取得最大值．
此時求直線l的方程為y=x±2．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，將三角形的面積用參數(shù)表示出來，本題解題過程中利用判別式判斷出最值取到時參數(shù)的值，這是本題中的一個難點，由于對知識掌握得不熟練，答題者可能到這里就不知道怎么來求參數(shù)的值，導致解題失敗，數(shù)學學習，知識掌握得全面是靈活運用的基礎(chǔ)．